Raisonnement par récurrence.
Comment montrer par récurrence qu’une propriété est vraie?
Pour montrer ; par récurrence; qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq p$, on procède en trois étapes:
Etape 1: Initialisation
On montre que la propriété $P(p)$ est vraie, c’est à dire que $P(n)$ est vraie pour $n=p$.
Etape 2: Hérédité.
On suppose que la propriété $P(n)$ est vraie , puis on montre que la propriété $P(n+1)$ est vraie aussi.
Etape 3: Conclusion.
On rédige alors: ” On conclut que $P(n)$ est vraie pour tout $n\geq p$”
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$
Initialisation : Pour $n=0$ $S_n =0$ et $\dfrac{0 \times (0+1)}{2} = 0$.
la propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
$\begin{align} S_{n+1} &= 0+1+2+\ldots+n+(n+1) \\\\
&= S_n + (n+1) \\\\
&= \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1\\\\
&= \dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\\\
&= \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Par conséquent, On conclut que $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a :
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1^2 = 1$ et $\dfrac{1(1+1)(2\times 1 + 1)}{6} = 1$.
La propriété est vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\begin{align} S_{n+1} &= 1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$
On voulait montrer que $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En supposant la propriété vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour entier $n \ge 1$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
On donne la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=2u_n-3$ et $u_0=7$.
Démontrer que, pour tout entier $n$, $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $2^{0+2}+3=4+3=7=u_0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=2^{n+2}+3$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2^{n+3}+3$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-3\\
&=2\left(2^{n+2}+3\right)-3\\
&=2^{n+3}+6-3\\
&=2^{n+3}+3
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^{n+2}+3$.
On considère la suite $(u_n)$ suivante : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ et $u_0=1$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<2$.
$\quad$ - Démontrer que, pour tout entier naturel $u_n \le u_{n+1}$. Que peut-on en déduire ?
$\quad$
- Montrons par récurrence sur $n$ que $0<u_n<2$.
Initialisation : $u_0=1$ donc $0<u_0<2$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n<2$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0<u_{n+1}<2$.
$\begin{align*} 0<u_n<2 &\ssi 1<u_n+1<3\\
&\ssi 1<\sqrt{u_n+1}<\sqrt{3} \\
&\ssi 1<u_{n+1}<\sqrt{3}
\end{align*}$
Or $0<1$ et $\sqrt{3}<2$
Par conséquent $0<u_{n+1}<2$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel on a $0<u_n<2$.
$\quad$ - Démontrons la propriété par récurrence.
Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}$ donc $u_0\pp u_1$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pp u_{n+1}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
$\begin{align*} u_n \pp u_{n+1} &\ssi u_n+1 \pp u_{n+1}+1 \\
&\ssi \sqrt{u_n+1} \pp \sqrt{u_{n+1}+1} \quad (*) \\
&\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}
\end{align*}$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp u_{n+1}$.
$\quad$
$(*)$ On peut appliquer la fonction racine carrée car $u_n>0$ donc $u_n+1>0$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Par conséquent elle converge.
$\quad$
Démontrer par récurrence que $$\sum_{k=0}^{n}k^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
On note $S_n=\ds \sum_{k=0}^{n}k^{2}$
Initialisation : Si $n=0$ alors $S_0=0^2 = 0$ et $\dfrac{0(0+1)(2\times 0+ 1)}{6} = 0$.
La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons que la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que :
$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
$\begin{align} S_{n+1} &= 0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$
Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.
Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour entier naturel $n$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
