Notion de fonction

Image – Antécédent – Tableau de valeurs

Exercice 1:
Solution

Parmi les courbes suivantes, déterminer celles qui représentent une fonction réelle.

Courbe 1

Courbe 2

Courbe 3

Bientôt

Exercice 2:
Solution

La courbe suivante est la représentation graphique d’une fonction

Avec une lecture graphique répondre aux questions suivantes.

Déterminer l’image de -1.
Déterminer $f(-2)$, $f(2)$ et $f(0)$.
Déterminer les antécédents de 1.

Bientôt

Exercice 3:
Solution

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.

On veut donc calculer :
$f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
$f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2x-3}{x-1}$.

Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
Déterminer $f(0), $f(-1)$ et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
Déterminer les antécédents de $0$; $1$; $-2$ et $2$.

La fonction $f$ est définie pour toutes valeurs de $x$ telles que $x-1\neq 0$.
Or $x-1=0 \ssi x=1$.
La fonction $f$ est par conséquent définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
$\quad$
$f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3$
$f(-1)=\dfrac{2\times (-1)-3}{-1-1}=\dfrac{5}{2}$
$f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)-3}{-\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{8}{3}$
$\quad$
Pour déterminer les antécédents de $0$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$, l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=0 \\
&\ssi 2x-3=0 \\
&\ssi 2x=3\\
&\ssi x=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
On a bien $\dfrac{3}{2}\neq 1$.
L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$, l’équation :
$\begin{align*} f(x)=1 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=1 \\
&\ssi 2x-3=x-1 \\
&\ssi 2x-x=-1+3\\
&\ssi x=2\end{align*}$
On a bien $2\neq 1$.
L’antécédent de $1$ est $2$
$\quad$
Pour déterminer les antécédents de $-2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$, l’équation :
$\begin{align*} f(x)=-2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=-2 \\
&\ssi 2x-3=-2(x-1) \\
&\ssi 2x-3=-2x+2 \\
&\ssi 2x+2x=2+3\\
&\ssi 4x=5 \\
&\ssi x=\dfrac{5}{4}\end{align*}$
Or $\dfrac{5}{4}\neq 1$.
L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{4}$.
$\quad$
Pour déterminer les antécédents de $2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$, l’équation :
$\begin{align*} f(x)=2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=2 \\
&\ssi 2x-3=2(x-1) \\
&\ssi 2x-3=2x-2\\
&\ssi 2x-2x=-2+3\\
&\ssi 0=1\end{align*}$
Le nombre $2$ ne possède donc pas d’antécédent.
$\quad$

Exercice 5:
Solution

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.
Compléter le tableau de valeurs de suivant
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1 & \dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$

Exercice 6:
Solution

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x+5}$.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$?
$O(0;0)$ ; $A\left(1;\dfrac{1}{6} \right)$ ; $B\left(3;\dfrac{1}{4} \right)$ ; $C\left(-2;\dfrac{4}{7} \right)$ ; $D\left(-3;\dfrac{9}{2} \right)$

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$
$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.