Nombres et calculs numérique (Seconde)
1) Les ensembles de nombres.
Notation: Certains ensembles peuvent être décrits par la liste de leurs éléments entre 2 accolades.
Exemples:
- L’ensemble des multiples de 5 inferieurs à 27 sont : $\{ 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 \}$
- L’ensemble de solutions de l’équation $x^2=1$ est : $\{ -1 ; 1 \}$
Les ensembles de nombres remarquables:
Définition :
- Les nombres entiers naturels forment un ensemble qu’on note $\mathbb{N}$. $\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,…. \right\}$ et $I{\mathbb{N}^{*}}=\mathbb{N}-\left\{ 0 \right\}$
- Les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs forment l’ensemble des nombres entiers relatifs qu’on note $\mathbb{Z}$ . $\mathbb{Z}=\left\{ …,-2,-1,0,1,2,3,… \right\}$ et ${{\mathbb{Z}}^{*}}=\mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\}$
- Les nombres qu’on peut écrire avec une virgule s’appellent des nombres décimaux ; on note leur ensemble $\mathbb{D}$. $\mathbb{D}=\left\{ \dfrac{a}{{{10}^{n}}}\,\,/\,\,a\in \mathbb{Z}\,\,et\,\,n\in \mathbb{N} \right\}$ et ${{\mathbb{D}}^{*}}=\mathbb{D}-\left\{ 0 \right\}$ .
- L’ensemble des nombres qu’on peut écrire sous forme d’une fraction s’appelle l’ensemble des nombres rationnels ; on note leur ensemble $\mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{a}{b}\,\,/\,\,a\in \mathbb{Z}\,\,et\,\,b\in\mathbb{N} \right\}$
- Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment l’ensemble des nombres réels qu’on note $\mathbb{R}$.
Remarques importantes :
- Tout entier naturel est un nombre entier relatif positif.
Par exemple : $5=+5$ , d’où : $5\in \mathbb{Z}$ .
On écrit : $IN\subset \mathbb{Z}$ , et on lit : « l’ensemble $IN$ est inclus dans l’ensemble $\mathbb{Z}$ ». - Tout nombre de $\mathbb{Z}$ est un nombre de $\mathbb{D}$
Par exemple : $-5=-5,0$ , d’où : $-5\in \mathbb{D}$ .
On écrit : $\mathbb{Z}\subset \mathbb{D}$ , et on lit : « l’ensemble $\mathbb{Z}$ est inclus dans l’ensemble $\mathbb{D}$ ». - Tout nombre de $ID$ est un nombre de $\mathbb{Q}$ .
Par exemple : $3,4=\dfrac{34}{10}$ , d’où : $3,4\in \mathbb{Q}$ .
On écrit : $ID\subset \mathbb{Q}$ , et on lit : « l’ensemble $ID$ est inclus dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ ». - Tout nombre de $\mathbb{Q}$ est un nombre de $\mathbb{R}$ .
On écrit : $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ , et on lit : « l’ensemble $\mathbb{Q}$ est inclus dans l’ensemble $\mathbb{R}$ ».
Ainsi on a : $IN\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.
Ce qu’on peut représenter par le digramme suivant :
Exemples:
Donner la nature de chacun des nombres suivants : ( La justification n’est pas demandée)
$3$ $2,1$ ${1}/{3}$ $\sqrt{2}$ et $π$.
Corrigé
$3$ est un entier naturel. On écrit $3\in \mathbb{N}$
$-2$ est un entier relatif (ce n’est pas un entier naturel).
$2,1$ est un décimal (ce n’est pas un entier relatif, et encore moins un entier naturel).
${1}/{3$ est un rationnel (ce n’est pas un décimal).
$√{2}$ et $π$ sont des réels (ce sont des irrationnels)
2) Opérations dans l’ensemble $\mathbb{R}$
a) Propriétés de l’addition et de la multiplication dans $\mathbb{R}$:
| Nom | L’addition | La multiplication |
| Commutativité | $a+b=b+a$ | $a\times b=b\times a$ |
| Associativité | $a+\left( b+c \right)=\left( a+b \right)+c$ | $a\times \left( b\times c \right)=\left( a\times b \right)\times c$ |
| L’élément neutre | $a+0=0+a=a$ | $a\times 1=1\times a=a$ |
| L’opposé et l’inverse | $\left( -a \right)+a=a+\left( -a \right)=0$ | $a\ne 0\,,a\times \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a}\times a=1$ |
| La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition | $k\times \left( a+b \right)=k\times a+k\times b$ |
b) Propriétés des fractions et des rapports:
$a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des nombres réels, on a les résultat suivants :
| Si on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominteur, la valeur de la fraction ne change pas. | $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}$ avec $b\ne 0$ et $k\ne 0$ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c}$ . |
| Additionner deux fractions de même dénominateur. | $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}$ tel que $b\ne 0$ |
| Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur. | $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{cb}{db}=\dfrac{ad+cb}{bd}$ tel que $b\ne 0$ و $d\ne 0$ . |
| Multiplier deux fractions | $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ tel que $b\ne 0$و $d\ne 0$ |
| Diviser deux fractions | $\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$، $b\ne 0$و $d\ne 0$ |
| Produit des extrêmes est égal au produit des moyennes. | $\frac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ signifie : $a\times d=b\times c$ $b\ne 0$و $d\ne 0$ |
3) Puissances et ses propriétés.
a) Définition et propriétés
$\to $ 6 à la puissance 4 signifie $6\times 6\times 6\times 6={{6}^{4}}$ .
${{6}^{4}}$ s’appelle une puissance de 6.
6 s’appelle la base de la puissance et 4 s’appelle l’exposant de la puissance.
Soit $a$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel non nul. ($n\in I{{N}^{*}}$).
Le tableau suivant résume vos connaissances sur la puissance :
| Définition et propriétés | Formule |
| Définition de la puissance d’un réel avec un exposant entier relatif. | ${{a}^{n}}=a\times a\times a\times …\times a$ ، $n$ facteurs ${{a}^{0}}=1$ et ${{a}^{1}}=a$ ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$ $a\ne 0$ |
| Produit de deux puissances de même base. | ${{a}^{n}}\times {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}$ . |
| Produit de deux puissances de même exposant. | ${{a}^{n}}\times {{b}^{n}}={{\left( a\times b \right)}^{n}}$ |
| Quotient de deux puissances de même base. | $\dfrac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}$ avec $a\ne 0$ |
| Quotient de deux puissances de même exposant. | $\dfrac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{n}}$ avec $b\ne 0$ |
| La puissance d’une puissance. | ${{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\times m}}$ |
b) Puissances du nombre 10
| Soit $n$ un entier naturel. – ${{10}^{n}}=1000..0$ , $n$ zéros à droite de 1. – ${{10}^{-n}}=0,000…01$ , $n$ zéros à gauche de 1. |
Exemples:
${{10}^{0}}=1$ ; ${{10}^{-3}}=0,001$ ; $36\times {{10}^{-1}}=3,6$ ; $65,479\times {{10}^{2}}=6547,9$ ;
$824,76\times {{10}^{-3}}=0,82476$.
c) L’écriture scientifique d’un nombre décimal
| Tout nombre décimal $x$ s’écrit d’une façon unique sous la forme $x=a\times {{10}^{p}}$ tel que $p\in \mathbb{Z}$ et $0\le a<10$ . L’écriture $a\times {{10}^{p}}$ s’appelle l’écriture scientifique du nombre $x$ . |
Exemples:
On a :
$\to $ $21,356=21,356\times {{10}^{-1}}\times {{10}^{1}}=2,1356\times 10$.
$\to $$8473000000=8473000000\times {{10}^{-9}}\times {{10}^{9}}=8,473\times {{10}^{9}}$.
$\to $ $0,0000157=0,0000157\times {{10}^{5}}\times {{10}^{-5}}=1,57\times {{10}^{-5}}$.
4) Racine carrée d’un nombre positif
Définition : La racine carrée d’un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . Ce nombre est noté $\sqrt{a}$
Exemples
On considère les nombres suivants : $9$ , $-25$ et 7.
Déterminons, si elle existe, la racine carrée des nombres précédents.
$\to $ Pour 9, il existe deux nombres $3$ et $-3$ dont le carré est égal à 9.
${{3}^{2}}=3\times 3=9$ et ${{\left( -3 \right)}^{2}}=\left( -3 \right)\times \left( -3 \right)=9$ .
Alors: $\sqrt{9}=3$
$\to $ Pour$-25$ , il n’existe aucun nombre dont le carré est égal à$-25$ .
$\to $ Pour 7, il existe deux nombres $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$ dont le carré est égal à 7.
${{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}=\sqrt{7}\times \sqrt{7}=7$ et ${{\left( -\sqrt{7} \right)}^{2}}=\left( -\sqrt{7} \right)\times \left( -\sqrt{7} \right)=7$ .
C’est le nombre $\sqrt{7}$ qui s’appelle « La racine carrée de 7 ».
Propriétés de la racine carrée
| Nom | Définition-Propriété |
| Définition de la racine carrée | ${{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a\,;\,a\ge 0$ |
| Racine carré d’un nombre positif. | $\sqrt{{{a}^{2}}}=a\,;\,a\ge 0$ |
| Produit de deux racines carrées. | $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ . |
| Racine carrée d’un carré. | $\sqrt{{{a}^{2}}}=a$ si $a\geq 0$ et $\sqrt{{{a}^{2}}}=-a$ ; $a\leq 0$ . |
| Quotient de deux racines carrées. | $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ avec $b>0$ et $a\ge 0$ |
