Back
Les puissances

Les puissances exercices résolus ( Seconde)

    Rappel sur les puissances

    Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

    1. $2^5\times 2^6$
    2. $(-7)^2\times (-7)^4$
    3. $(-8)^2\times 8^7$
    4. $(-3)^4\times (-5)^4$
    5. $(-5)^3\times 2^3$
    6. $\left((-3)^5\right)^3$
    7. $(-3)^4\times (-3)^5$
    8. $(-5)^4\times (-5)$
    9. $4^2\times (-4)^3$
    10. $(-2)^4\times 3^4$
    11. $(-4)^5\times (-2)^5$
    12. $\left((-6)^7\right)^4$
    1. $2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$
    2. $(-7)^2\times (-7)^4=(-7)^{2+4}=(-7)^6=7^6$ car $6$ est pair
    3. $(-8)^2\times 8^7=8^2\times 8^7=8^{2+7}=8^9$
    4. $(-3)^4\times (-5)^4=\left(-3\times (-5)\right)^4=15^4$
    5. $(-5)^3\times 2^3=(-5\times 2)^3=-10^3$
    6. $\left((-3)^5\right)^3=(-3)^{5\times (3)}=(-3)^{15}=-3^{15}$ car $-3$ est impair
    7. $(-3)^4\times (-3)^5=(-3)^{4+5}=(-3)^9=-3^9$
    8. $(-5)^4\times (-5)=(-5)^{4}\times (-5)^1=(-5)^{4+1}=(-5)^{5}$
    9. $4^2\times (-4)^3=4^2\times \left(-4^3\right)=-4^2\times 4^3=-4^{2+3}=-4^5$
    10. $(-2)^4\times 3^4=(-2\times 3)^4=(-6)^4=6^4$
    11. $(-4)^5\times (-2)^5=\left(-4\times (-2)\right)^5=8^5$
    12. $\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7\times 4}=(-6)^{28}=6^{28}$

    Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible chacun des nombres suivants :

    $\begin{array}{lll}
    A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 & &B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \\C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2&\phantom{123} & D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4
    \end{array}$

    $A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

    $B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3=-\dfrac{3^3}{4^3}=-\dfrac{27}{64}$

    $\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2 \\
    &=\dfrac{3^2}{7^2}\times \dfrac{(-2\times 7)^2}{5^2}\\
    &=\dfrac{3^2\times 2^2\times 7^2}{7^2\times 5^2}\\
    &=\dfrac{3^2\times 2^2}{5^2}=\dfrac{36}{25}\end{align*}$

    $\begin{align*}D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4 \\
    &=\dfrac{4^3}{7^3}\times \dfrac{(-7)^4}{2^4}\\
    &=\dfrac{4^3\times 7^4}{7^3\times 2^4} \\
    &=\dfrac{\left(2^2\right)^3\times 7}{2^4}\\
    &=\dfrac{2^6\times 7}{2^4} \\
    &=2^2\times 7\\
    &=4\times 7\\
    &=28\end{align*}$

    Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

    $\begin{array}{lll}
    A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}} & &B=\dfrac{(-7)^5}{7^3} \\C=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}&\phantom{123} & D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}
    \end{array}$

    $A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}}=2^{15-11}=2^4$

    $B=\dfrac{(-7)^5}{7^3}=\dfrac{-7^5}{7^3}=-7^{5-3}=-7^2$

    $\begin{align*}C&=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}\\
    &=\dfrac{-3^2\times \left(-3^3\right)\times 3^5}{3^3\times 3^4}\\
    &=\dfrac{3^{10}}{3^7}=3^{10-7}\\
    &=3^3\end{align*}$

    $D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}=\dfrac{5^8\times 5^{26}}{5^2\times 5^{45}}=\dfrac{5^{34}}{5^{47}}=5^{34-47}=5^{-13}$

    Écrire chacun des nombres suivant sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

    $\begin{array}{lll}
    A=4^{-3} & & B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
    C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} & &D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
    E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} && F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}\\
    G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}&\phantom{123}& H=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}
    \end{array}$

    $A=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{1}{64}$

    $B=\dfrac{7^9}{7^{11}}=7^{9-11}=7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

    $C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{5}{4}\right)^2~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{25}{16}~~}=\dfrac{16}{25}$

    $D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=-\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{2}{3}\right)^3~~}=-\dfrac{1}{~~\dfrac{8}{27}~~}=-\dfrac{27}{8}$

    $E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}=5^{-1-2}=5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}$

    $F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}=2^{3-(-2)}=2^5$

    $G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}=-\dfrac{9^{4-2}}{9^2}=-\dfrac{9^2}{9^2}=-1$

    $\begin{align*}H&=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}\\
    &=\dfrac{6^5\times 6^{-4}\times 6^{-3}}{6^{2-5}}\\
    &=\dfrac{6^{5-4-3}}{6^{-3}} \\
    &=\dfrac{6^{-2}}{6^{-3}}=6^{-2-(-3)}\\
    &=6\end{align*}$

    Simplifier au maximum les expressions suivantes :

    $\begin{array}{ccccc}
    A=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} &\phantom{12} &B=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}}&\phantom{12} & C=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}}
    \end{array}$

    $\begin{align*} A&=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} \\
    &=\dfrac{(2\times 5)^9\times (2\times 3)^3}{(5\times 5)^4\times 3\times 2^{11}} \\
    &=\dfrac{2^9\times 5^9\times 2^3\times 3^3}{5^4\times 5^4\times 3\times 2^{11}} \\
    &=\dfrac{2^{12}\times 5^9\times 3^3}{5^8\times 3\times 2^{11}} \\
    &=2^{12-11}\times 5^{9-8}\times 3^{3-1}\\
    &=2\times 5\times 3^2 \\
    &=10\times 9\\
    &=90\end{align*}$

    $\begin{align*}B&=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
    &=\dfrac{10}{10^{118}\times 10}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
    &=\dfrac{10}{10^{119}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
    &=\dfrac{9}{10^{119}} \end{align*}$

    $\begin{align*}C&=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}} \\
    &=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{(2\times 5)^{107}} \\
    &=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{2^{107}\times 5^{107}} \\
    &=5^{108-107}\times 2^{106-107}\times 11 \\
    &=5\times 2^{-1}\times 11 \\
    &=\dfrac{5\times 11}{2} \\
    &=\dfrac{55}{2}\end{align*}$

    Écrire sous forme décimale les nombres suivants :

    $\begin{array}{lll}
    A=10^{-4} & &B=10^{15}\times 10^{-17} \\
    C=3\times 10^6\times 10^{-8} & &D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}} \end{array}$

    $A=10^{-4} = 0,000~1$

    $B=10^{15}\times 10^{-17} = 10^{15-17}=10^{-2}=0,01$

    $C=3\times 10^6\times 10^{-8}=3\times 10^{6-8}=3\times 10^{-2}=0,03$

    $D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}}=\dfrac{5}{2}\times 10^{-7-(-1)}=2,5\times 10^{-6}=0,000~002~5$

    Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

    $\begin{array}{lll}
    A=2~000~000 & & B=0,003~6 \\
    C=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 & &D=0,000~003~75\times 5~000  \\
    E=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 &\phantom{123} & F=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3}
    \end{array}$

    $A=2~000~000 = 2\times 10^6$

    $B=0,003~6=3,6\times 10^{-3}$

    $\begin{align*} C&=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 \\
    &=\left(10^{-1}\right)^5\times \left(-10^{-3}\right)^2\times \left(10^{-2}\right)^2 \\
    &=10^{-5}\times 10^{-6}\times 10^{-4} \\
    &=1\times 10^{-15} \end{align*}$

    $\begin{align*}D&=0,000~003~75\times 5~000  \\
    &=3,75\times 10^{-6}\times 5\times 10^3\\
    &=18,75\times 10^{-3} \\
    &=1,875\times 10\times 10^{-3}\\
    &=1,875\times 10^{-2}\end{align*}$

    $\begin{align*} E&=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 \\
    &=10^{-3}\times \left(10^{-4}\right)^3\times 10^4\times 10^2 \\
    &=10^{-3}\times 10^{-12}\times 10^6\\
    &=1\times 10^{-9}\end{align*}$

    $\begin{align*} F&=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3} \\
    &=\left(5\times 10^{-1}\right)^3\times \left(5^2\right)^2\times \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\times \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-3} \\
    &=5^3\times 10^{-3}\times 5^4\times \left(-\dfrac{3^3}{4^3}\right)\times \dfrac{4^3}{5^3}\\
    &=-5^7\times 10^{-3}\times \dfrac{3^3}{5^3} \\
    &=-5^4\times 10^{-3}\times 27\\
    &=-625\times 27 \times 10^{-3} \\
    &=-16~875\times 10^{-3} \\
    &=-1,687~5\times 10^4\times 10^{-3} \\
    &=-1,687~5 \times 10\end{align*}$

    $\quad$

    En cours

    En cours

    HAIB

    Leave A Reply