La continuité Tle spé Maths
1- Continuité en un point:
Définition:
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$.
Elle est dite continue en $a$ si $\lim\limits_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x)= f(a)$.
Exemples:
2- Continuité sur un intervalle:
Définition:
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur $I$ si elle est continue en chacun des points de l’intervalle $I$.
Propriété:
- Toutes les fonctions polynômes, rationnelles, valeur absolue et racines carrées sont continues sur tous les intervalles sur lesquels elles sont définies.
- La somme, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues (sur tout intervalle sur lequel ces sommes, produits, $\ldots$ sont définis).
Théorème: Toutes les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
Attention :
La réciproque est bien évidemment fausse : toutes les fonctions continues sur un intervalles ne sont pas toujours dérivables.
Exemple : La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ mais n’est pas dérivable en $0$.
Théorème: (Théorème des valeurs intermédiaires)
On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de l’intervalle $[a;b]$ tel que $f(c) = k$.
Ainsi l’équation $f(x) = k$ possède au moins une solution appartenant à $[a;b]$.
Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x+\sqrt{x}-8$ définie sur l’intervalle $[0;10]$.
$f$ est une une somme de fonction continue sur $[0;10]$. Elle est donc également continue sur $[0;10]$.
$f(0) = -8<0$ et $f(10) = 2+\sqrt{10}>0$. Par conséquent $0 \in \left[-8;2+\sqrt{10}\right]$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ possède donc au moins une solution dans l’intervalle $[0;10]$.
Théorème:(Théorème de la bijection)
On considère une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $[a;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ appartenant à $[a;b]$ tel que $f(c) = k$.
Remarque : Ce théorème est parfois appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10[$ par $f(x) = x^3+x+1$. On veut prouver que l’équation $f(x)=4$ possède une unique solution.
La fonction $f$ est dérivable en tant que polynôme sur $[0;10] $ et $f'(x) = 3x^2+1 \ge 0$.
La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;10]$.
$f(0) = 1$ et $f(10) = 1011$. Or $4 \in [1;1011]$.
Par conséquent, d’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x) = 4$ possède une unique solution sur $[0;10]$.
Remarque : Ces deux théorèmes se généralisent à des fonctions définies sur des intervalles de la forme $]-\infty;a]$, $[a;+\infty[$ et $]-\infty;+\infty[$.On est alors amener à déterminer la limite de $f(x)$ en $\pm \infty$.
