Fiche 2: Multiples et Diviseurs (seconde)
La leçon
1) Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont pairs et ceux qui sont impairs.
651, ${{5}^{2}}+1$ , 54972, $11\times 24$ , $157\times 3332$ , ${{37}^{2}}$ .
2) Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont divisibles par 3.
1475 , 100101 , ${{23142}^{2}}$ .
3) Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont divisibles par 4.
1476 , 100126 , ${{23148}^{2}}$ .
1) Nombres pairs et nombres impairs:
$\to $ Le nombre 651 est un nombre impair ; car $651=2\times 325+1$ .
$\to $ On a ${{5}^{2}}$ est un nombre impair ; car il est le produit de deux nombres impairs.
Donc: le nombre ${{5}^{2}}+1$ est un nombre pair ; car il est la somme de deux nombres impairs .
$\to $ Le nombre 54972 est un nombre pair ; car son chiffre des unités est 2.
$\to $ $11\times 24$ est un nombre pair ; car il est le produit d’un nombre impair et d’un nombre pair est un nombre pair.
$\to $ $157\times 3332$ est pair ; même raison que précédemment.
$\to $ On a ${{37}^{2}}$ est un nombre impair ; car il est le produit de deux nombres impairs.( ${{37}^{2}}=37\times 37$ )
2) Nombres divisibles par 3:
$\to $ 1475 n’est pas divisible par 3 ; car $1+4+7+5=17$ n’est pas divisible par 3.
$\to $100101 est divisible par 3 ; car $1+0+0+1+0+1=3$ est divisible par 3.
$\to $ ${{23142}^{2}}$ est divisible par 3 ; car 23142 est divisible par 3.
3) Nombres divisibles par 4:
$\to $ 1476 est divisible par 4 ; car 76 est divisible par 4.
$\to $100126 n’est pas divisible par 4 ; car 26 n’est pas divisible par 4.
$\to $ ${{23148}^{2}}$ est divisible par 4 ; car 23148 est divisible par 4.
Déterminer l’ensemble des diviseurs de chacun des nombres suivants :
24, 35 et 68.
Diviseurs de 24
$\to $On a :
D’où : $24=2\times 2\times 2\times 3={{2}^{3}}\times 3$
Donc : les diviseurs de 24 sont : 1, 2, ${{2}^{2}}=4$ , ${{2}^{3}}=8$ , $1\times 3=3$ , $2\times 3=6$ , ${{2}^{2}}\times 3=12$ et ${{2}^{3}}\times 3=24$.
Diviseurs de 35
$\to $On a : $35=5\times 7$ .
D’où : les diviseurs de 35 sont : 1, 5 , 7 et $5\times 7=35$ .
Diviseurs de 68
$\to $On a :
D’où : $68={{2}^{2}}\times 17$ .
Donc : les diviseurs de 68 sont : 1, 2, ${{2}^{2}}=4$ , 17 , $2\times 17=34$ et ${{2}^{2}}\times 17=68$ .
Déterminer, dans chacun des cas suivants , les chiffres $a$ , $b$ et $c$ sachant que :
a) Le nombre $12a4$ est divisible par 3.
b) Le nombre $23a4$ est divisible par 3 et il n’est pas divisible par 9.
a) Détermination du chiffre $a$
Pour que le le nombre $12a4$ soit divisible par 3 , il faut que le nombre $1+2+a+4=a+7$ soit divisible par 3.
C’est-à-dire : il existe $k$ tel que $a+7=3k$ .
D’où : $a=3k-7$ .
Puisque $a$ est un chiffre, alors $0\le 3k-7\le 9$ .
Par suite : $\frac{7}{3}\le k\le \frac{16}{3}$ .
Puisque $k$ est un entier, alors $3\le k\le 5$.
$\to $ Si $k=3$ , alors $a=3\times 3-7=2$ et le nombre est :$1224$ .
$\to $ Si $k=4$ , alors $a=3\times 4-7=5$ et le nombre est :$1254$ .
$\to $ Si $k=5$ , alors $a=3\times 5-7=8$ et le nombre est :$1284$ .
b) Détermination du chiffre $a$
Pour que le le nombre $23a4$ soit divisible par 3 , il faut que le nombre $2+3+a+4=a+9$ soit divisible par 3.
C’est-à-dire : il existe $k$ tel que $a+9=3k$ .
D’où : $a=3k-9$ .
Puisque $a$ est un chiffre, alors $0\le 3k-9\le 9$ .
Par suite : $3\le k\le 6$ .
$\to $ Si $k=3$ , alors $a=3\times 3-9=0$ et le nombre est :$2304$ . Or ce nombre est divisible par 9. Donc la valeur 0 ne convient pas.
$\to $ Si $k=4$ , alors $a=3\times 4-9=3$ et le nombre est :$2334$ .
$\to $ Si $k=5$ , alors $a=3\times 5-9=6$ et le nombre est :$2364$ .
$\to $ Si $k=6$ , alors $a=3\times 6-9=9$ et le nombre est :$2394$ . Or ce nombre est divisible par 9. Donc la valeur 9 ne convient pas.
Donc : $a=3$ ou $a=6$ .
Soient $a$ , $b$ et $c$ trois nombres de $IN$ .
1) Montrer que si $b<a$ , alors les deux nombres $a+b$ et $a-b$ sont de même parité.
2) Montrer que si $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres pairs successifs , alors le nombre $a+b+c$ est un multiple de 6.
1) Les deux nombres ont la même parité
On va utiliser une disjonction de cas.
$\to $ Si $a$ et $b$ sont pairs , alors $a=2k$ et $b=2k’$ .
D’où : $a+b=2k+2k’=2\left( k+k’ \right)$ par suite $a+b$ est pair.
et $a-b=2k-2k’=2\left( k-k’ \right)$ par suite $a-b$ est pair.
D’où : $a+b$ et $a-b$ de même parité.
$\to $ Si $a$ et $b$ sont impairs , alors $a=2k+1$ et $b=2k’+1$ .
D’où : $a+b=2k+1+2k’+1=2k+2k’+2=2\left( k+k’+1 \right)$ par suite $a+b$ est pair.
et $a-b=2k+1-2k’-1=2\left( k-k’ \right)$ par suite $a-b$ est pair.
D’où : $a+b$ et $a-b$ de même parité.
$\to $ Si $a$ est impair et $b$est pair , alors $a=2k+1$ et $b=2k’$ .
D’où : $a+b=2k+1+2k’=2\left( k+k’ \right)+1$ par suite $a+b$ est impair.
et $a-b=2k+1-2k’=2\left( k-k’ \right)+1$ par suite $a-b$ est impair.
D’où : $a+b$ et $a-b$ de même parité.
Donc : Dans tous les cas les deux nombres $a+b$ et $a-b$ sont de même parité.
2) la somme est divisible par 6
Si $a$ , $b$ et c sont pairs et successifs , alors $a=2k$ , $b=2k+2$ et $c=2k+2+2=2k+4$.
D’où : $a+b+c=2k+\left( 2k+2 \right)+\left( 2k+4 \right)=6k+6=6\left( k+1 \right)$.
Donc : $a+b+c$ est un multiple de 6.
Soit le nombre $A={{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7$ .
1) Déterminer les diviseurs du nombre $A$ .
2) Déterminer le plus petit nombre $k$non nul tel que $k\times A$ soit un carré parfait.
3) Déterminer le plus petit nombre $m$ non nul tel que $m\times A$ soit un cube.
1) Diviseurs de $A$
En utilisant la décomposition en facteurs premiers du nombre $A={{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7$ , on écrit tous ses diviseurs de la manière suivante :
$\to $ Diviseurs d’un seul facteurs : 1, 2, 5 et 7.
$\to $ Diviseurs formés par deux facteurs :
$2\times 2=4$ , $2\times 5=10$, $2\times 7=14$ et $5\times 7=35$ .
$\to $ Diviseurs formés par trois facteurs :
$2\times 2\times 2=8$ , $2\times 2\times 5=20$, $2\times 2\times 7=28$ , $2\times 5\times 7=70$, $5\times 5\times 2=50$ et $5\times 5\times 7=175$ .
$\to $ Diviseurs formés par quatre facteurs : ……..
$\to $ Diviseurs formés par cinq facteurs :…….
2) Détermination de $k$pour que le nombre $k\times A$ soit un carré
Pour que le nombre $k\times A$ soit un carré parfait il faut que sa décomposition ne contienne que des puissances d’exposants pairs.
On a : $k\times A=k\times {{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7=2\times 7\times {{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7={{2}^{4}}\times {{5}^{2}}\times {{7}^{2}}$ .
${{2}^{4}}\times {{5}^{2}}\times {{7}^{2}}$ est le carré du nombre ${{2}^{2}}\times {{5}^{1}}\times {{7}^{1}}=4\times 5\times 7=140$.
Donc : Le nombre $k=2\times 7=14$ .
3) Détermination de $m$ pour que le nombre $m\times A$ soit un cube
Pour que le nombre $m\times A$ soit un cube il faut que sa décomposition ne contienne que des puissances d’exposants multiples de 3.
On a : $m\times A=m\times {{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7=5\times {{7}^{2}}\times {{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\times 7={{2}^{3}}\times {{5}^{3}}\times {{7}^{3}}=343000$ .
Donc : Le nombre $m=5\times {{7}^{2}}=245$ .
Le nombre $343000$ est le cube de $2\times 5\times 7=70$ ; c’est-à-dire que ${{70}^{3}}=343000$ .
$x$ et $y$ sont deux nombres de $IN$ tels que $y<x$ .
1) Montrer que $x+y$ et $x-y$ sont de même parité.
2) Déterminer les diviseurs pairs du nombre 28.
3) Supposons que ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=28$ . Déterminer les valeurs de $x$ et $y$.
1) les deux nombres sont de même parité
Voir la solution dans l’exercice 4 question 1.
2) Diviseurs pairs de 28
L’ensemble des diviseurs de 28 est : $\left\{ 1,2,4,7,14,28 \right\}$ .
D’où : Les diviseurs pairs sont : 2, 4, 14 et 28.
3) Les valeurs de $x$ et $y$
On a : ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=28$ .
D’où : $\left( x+y \right)\left( x-y \right)=28$.
Par suite : $x+y$ et $x-y$ sont des diviseurs de 28 ayant la même parité.(question 1) et dont le produit est égal à 28.
Puisque $x-y<x+y$ , alors $x+y=14$ et $x-y=2$ ; car 2 et 14 sont les deux seuls diviseurs de même parité et dont le produit est égal à 28.
En résolvant le système $\left\{ \begin{align}
& x+y=14 \\
& x-y=2 \\
\end{align} \right.$ , on trouve $x=8$ et $y=6$ .
Soit $n$ un entier naturel.
1) Montrer que $A={{n}^{2}}+5n+4$ est un nombre pair.
2) Montrer que $B={{n}^{2}}-5n+4$ est un nombre pair si $n\ge 1$ .
3) En déduire que 4 divise le nombre $C={{n}^{4}}-17{{n}^{2}}+16$ pour tout $n\ge 1$.
1) A est pair
On a : $A={{n}^{2}}+5n+4={{n}^{2}}+n+4n+4=n\left( n+1 \right)+2\left( 2n+2 \right)$.
Or : $n\left( n+1 \right)$ est un nombre pair ; car il est le produit de deux nombres
consécutifs.
et $2\left( 2n+2 \right)$ est un nombre pair.
D’où : $n\left( n+1 \right)+2\left( 2n+2 \right)$ est un nombre pair puisqu’il est la somme de deux nombres pairs.
Donc : $A={{n}^{2}}+5n+4$ est un nombre pair.
2) B est pair
On a : $B={{n}^{2}}-5n+4={{n}^{2}}-n-4n+4=n\left( n-1 \right)-2\left( 2n-2 \right)$.
Or : $n\left( n-1 \right)$ est un nombre pair ; car ilest le produit de deux nombres
consécutifs.
et $2\left( 2n-2 \right)$ est un nombre pair.
D’où : $n\left( n-1 \right)-2\left( 2n-2 \right)$ est un nombre pair ; puisqu’il est la différence de deux nombres pairs.
Donc : $B={{n}^{2}}-5n+4$ est un nombre pair.
4) Déduction
On a : $\left( {{n}^{2}}+5n+4 \right)\left( {{n}^{2}}-5n+4 \right)=\left[ \left( {{n}^{2}}+4 \right)+5n \right]\left[ \left( {{n}^{2}}+4 \right)-5n \right]$.
D’où :
$\begin{align}
& \left( {{n}^{2}}+5n+4 \right)\left( {{n}^{2}}-5n+4 \right)={{\left( {{n}^{2}}+4 \right)}^{2}}-{{\left( 5n \right)}^{2}} \\
& ={{n}^{4}}+8{{n}^{2}}+16-25{{n}^{2}} \\
& ={{n}^{4}}-17{{n}^{2}}+16
\end{align}$.
Par suite : $C=A\times B$ .
Comme $A=2k$ et $B=2k’$ , alors $C=A\times B=4kk’$. Donc : 4 divise le nombre C.
1) Calculer le pgcd(135,210).
2) Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont la longueur est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
a) Déterminer , en cm , la mesure du côté d’un carreau, sachant que le mur mesure $210cm$ de longueur et $135cm$ de largeur.
b) Combien faudra – t- il de carreaux alors ?
1) Calcul du pgcd(135,210)
On a :
$135={{3}^{3}}\times 5$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$ .
D’où : $p\gcd \left( 135,210 \right)=3\times 5=15$ .
2) a – La mesure du côté d’un carreau
Pour que le nombre de carreaux soit un nombre entier il faut que la mesure du côté d’un carreau soit un diviseur commun des nombres 135 et 210.
Pour que la mesure d’un côté soit la plus grande possible il faut qu’elle soit égale au plus grand diviseur commun des nombres 135 et 210.
Donc : la longueur maximale du côté d’un carreau est $15cm$ .
b) le nombre de carreaux nécéssaires
Puisque la longueur du mur est $210cm$ , alors le nombre de carreaux nécessaires pour une rangée suivant la longueur est :$210\div 15=14$ .
Puisque la largeur du mur est $135cm$ , alors le nombre de carreaux nécéssaires pour une rangée suivant la largeur est :$135\div 15=9$ . Donc : le nombre total de carreaux pour couvrir le mur est : $14\times 9=126$
Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d’un même circuit.
La voiture A fait le tour du circuit en $36mn$ et la voiture B en $30mn$ .
1) Dans combien de temps les deux voitures se trouveront pour la première fois sur la ligne de départ ?
2) Combien de tours fera chaque voiture à ce moment là ?
1) Durée de croisement des deux voitues
$*$ Puisque la voiture A fait un tour en $36mn$, alors :
$\to $ pour un tour il lui faut $36mn$.
$\to $ pour deux tours il lui faut $36\times 2=72mn$.
$\to $ pour trois tours il lui faut $36\times 3=108mn$.
….
Pour que la voiture A fasse un nombre exact de tours il lui faut un temps égal à un multiple de $36mn$.
$*$ De même pour que la voiture B fasse un nombre exact de tours il lui faut un multiple de $30mn$.
$*$La durée nécessaire pour que les deux voitures se croisent sur la ligne de départ est un multiple commun de 36 et 30.
$*$Donc : La durée nécessaire pour que les deux voitures se croisent sur la ligne de départ pour la première fois est $ppmc\left( 36,30 \right)=180mn$ .
2) Nombre de tours de chaque voiture
Le nombre de tours de la voiture A est :$180\div 36=5$ .
Le nombre de tours de la voiture B est :$180\div 30=6$ .
