Correction DNB Maths – Juin 2022 – Métropole
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Exercice 1 : (20 points) Géométrie
Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$, $E$ et $D$, de même que $A$, $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)
- Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
- Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.
Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm. - Montrer que la longueur $CE$ vaut $13,3$ m, en arrondissant au décimètre près.
- L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$.
a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?
- Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droites $(AB)$.
Par suite les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles. - Dans les triangles $EAC$ et $EBD$ :
– le point $E$ appartient aux segments $[AB]$ et $[CD]$
– les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
Alors: d’après le théorème de Thalès : $\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AC}{BD}$
Donc: $\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}$; Ainsi $AC=4$.
Par suite la largeur de la rivière est de $20$ pas. - Dans le triangle $ACE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
d’où:
$\begin{align*} CE^2&=AC^2+AE^2 \\
&=4^2+20^2\\
&=16+400\\
&=416\end{align*}$
Donc: $CE=\sqrt{416}$ pas
Par suite: $CE = 0,65\times \sqrt{416} \approx 13,3$ m - a. La vitesse du bâton est :
$\begin{align*} v&=\dfrac{CE}{5} \\
&=\dfrac{0,65\sqrt{416}}{5} \\
&=0,13\sqrt{416} \\
&\approx 2,65 \text{ m/s}\end{align*}$
En prenant $CE \approx 13,3$ on obtient alors : $v\approx \dfrac{13,3}{5}$ soit $v\approx 2,66$ m/s.
b. $1$ km $=1~000$ m et $1$ h $=3~600$ s.
$10$ km/h $=10\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 2,78 $m/s
Donc: L’affirmation «le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h» est exacte.
Exercice 2 : ( 20 points) QCM
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.
- La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme $A$ en $A’$.
Donc la réponse A est exacte
$\quad$ - Graphiquement on a $g(1)=2$.
Donc $1$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
Donc la réponse B est exacte
$\quad$ - On a :
$\begin{align*} f(3)&=3\times 3^2-7 \\
&=3\times 9-7 \\
&=27-7 \\
&=20\end{align*}$
Donc la réponse B est exacte
$\quad$ - On réordonne la série dans l’ordre croissant :
$$3,41 ~;~ 3,7 ~;~ 4,01 ~;~4,28 ~;~4,3 ~;~ 4,62~;~4,91 ~;~5,15 ~;~5,25 ~;~ 5,42 ~;~ 5,82 ~;~ 6,07 ~;~ 6,11$$
On a: $\dfrac{13}{2}=6,5$ , d’où : la médiane est la $7^{ème}$ valeur soit $4,91$.
Donc la réponse B est exacte
$\quad$ - $\dfrac{6,3}{2,1}=3$. Toutes les longueurs du triangle $LAC$ ont été multipliées par $3$ pour obtenir le triangle $BUT$.
Donc: son aire est multipliée par $3^2$ soit $9$.
Donc la réponse C est exacte
$\quad$
Exercice 3 : ( 20 points) Divisibilité – Probabilité
Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».
- a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Proposition 1}&\text{Proposition 2}&\text{Proposition 3} \\
2^2\times 9\times 7&2\times 2\times 3\times 21&2^2\times 3^2\times 7\\
\hline
\end{array}$$
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$. - Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
a. Peut-elle faire $36$ paquets ?
b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre »
- a. $9$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 1.
$21$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 2.
$2^2\times 3^2\times 7=252$.
La décomposition en produit de facteurs premiers de $252$ est donc obtenue avec la proposition 3.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} 156&=2\times 78 \\
&=2\times 2\times 39 \\
&=2^2\times 3\times 13\end{align*}$
La décomposition en produit de facteurs premiers de $156$ est $2^2\times 3\times 13$.
$\quad$ - a. $156$ n’est pas divisible par $36$ car $\dfrac{156}{36}\approx 4,33$.
Elle ne peut donc pas faire $36$ paquets.
$\quad$
b. $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $156=2^2\times 3\times 13$.
Ainsi le plus grand diviseur commun à $252$ et $156$ est $2^2\times 3=12$.
Elle peut donc réaliser au maximum $12$ paquets.
$\quad$
c. $\dfrac{252}{12}=21$ et $\dfrac{156}{12}=13$.
Il y aura alors $21$ cartes de type « feu » et $13$ cartes de type « terre » par paquet.
$\quad$ - Il y a $252+156=408$ cartes dans le jeu.
La probabilité que la carte tirée soit du type « terre » est donc égale à $\dfrac{156}{408}$ qu’on peut simplifier en $\dfrac{13}{34}$.
$\quad$
Exercice 4 : ( 20 points) Calcul littéral – Scratch
Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :
- un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
- un carré de côté $x$.
- Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$ - Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
- On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.
- On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
- Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
1- L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
2- L’aire du rectangle est :
$\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
&=x^2+7x-3x-21 \\
&=x^2+4x-21\end{align*}$.
3- On obtient :
4- Si le nombre $8$ est saisi on aura: $8^2+4\times 8-21=75$.
Donc le programme renvoie la valeur $75$.
5- On veut résoudre l’équation :
$x^2=x^2+4x-21$
$4x-21=0$
$4x=21$.
Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
Exercice 5 : ( 20 points) Volume – Calcul avec des gradeurs
Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :
- Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
- Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
- En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1$ ml).
$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Caractéristiques de la vasque}\\
\quad \text{Diamètre intérieur : $40$ cm}\\
\quad \text{Hauteur intérieure : $15$ cm}\\
\quad \text{Masse : $25$ kg}\\
\hline
\end{array}$
Rappels :
$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Volume du cylindre $=\pi\times$ rayon$^2\times$ hauteur}\\
1 \text{ dm}^3=1 \text{ litre}\\
\hline
\end{array}$
- En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
- Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
- Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
- L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
- À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004.
En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.
Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
- En une journée il y a $24\times 60\times 60=86~400$ s.
Il s’écoule une goutte par seconde.
Il tombe donc $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée. - En une semaine il tombe $86~400\times 7 =604~800$ gouttes.
$\dfrac{604~800}{20}=30~240$.
Le volume d’eau tombé dans la vasque en une semaine est égal à $30~240$ ml soit $30,24$ litres. - Le volume de la vasque est :
$\begin{align*} V&=\pi \times 20^2\times 15 \\
&=6~000\pi \\
&\approx 18~849,56\text{ cm}^3\\
&\approx 18,85 \text{ l}\end{align*}$ - $30,24>18,85$ : l’eau va déborder de la vasque.
- $\dfrac{148-165}{165} \approx -0,10$.
Entre 2004 et 2018 la consommation d’eau a baissé de $10\%$ environ.
