Correction DNB Maths – Mai 2022 – Amérique du nord
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Exercice 1 : ( 22 points) Géométrie
La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.
- les points $M$, $A$ et $S$ sont alignés
- les points $M$, $T$ et $H$ sont alignés
- $MH = 5$ cm
- $MS = 13$ cm
- $MT = 7$ cm
- Démontrer que la longueur $HS$ est égale à $12$ cm.
$\quad$ - Calculer la longueur $AT$.
$\quad$ - Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HMS}$. On arrondira le résultat au degré près.
$\quad$ - Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ ?
Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
Recopier la réponse sur la copie.
$$\begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{centrale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{axiale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une}\\\phantom{12~}\text{rotation}\phantom{12~}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{2}\text{translation}\phantom{2}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{1}\text{homothétie}\phantom{1}\\\hline\end{array}$$
$\quad$ - Sachant que la longueur $MT$ est $1,4$ fois plus grande que la longueur $HM$, un élève affirme : « L’aire du triangle $MAT$ est $1,4$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$. »
Cette affirmation est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
$\quad$
- Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore : $MS^2=HM^2+HS^2$.
Donc $13^2=5^2+HS^2$ soit $169=25+HS^2$
Par conséquent $HS^2=144$ et $HS=12$ cm.
$\quad$ - Dans les triangles $HMS$ et $AMT$ :
– $M\in [AS]$ et $M\in [HT]$
– les droites $(AT)$ et $(HS)$ sont parallèles puisque toutes les deux perpendiculaires à la droite $(HT)$.
D’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{MA}{MS}=\dfrac{MT}{MH}=\dfrac{AT}{HS}$
Soit $\dfrac{7}{5}=\dfrac{AT}{12}$
Par conséquent :
$\begin{align*} AT&=12\times \dfrac{7}{5} \\
&=16,8\end{align*}$
$\quad$ - Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on a
$\begin{align*}\cos \widehat{HMS}&=\dfrac{HM}{MS} \\
&=\dfrac{5}{13}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{HMS}\approx 67$°
$\quad$ - Une homothétie permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ (et c’est la seule transformation puisque toutes les autres conservent les longueurs).
$\quad$ - L’aire du triangle $MAT$ est $1,4^2=1,96$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$.
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$
Exercice 2 : ( 15 points) QCM
Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte.
Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
- On lance un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$.
La probabilité pour que le numéro tiré soit inférieur ou égal à $5$ est …
Réponse A $\dfrac{1}{20}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse B $\dfrac{1}{4}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse C $\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse D $\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$ - Une boisson est composée de sirop et d’eau dans la proportion d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau (c’est-à-dire dans le ratio $1 : 7$).
La quantité d’eau nécessaire pour préparer $560$ mL de cette boisson est …
Réponse A $70$ mL
Réponse B $80$ mL
Réponse C $400$ mL
Réponse D $490$ mL - La fonction linéaire $f$ telle que $f\left(\dfrac{4}{5}\right)=1$ est …
Réponse A $f(x)=x+\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse B $f(x)=\dfrac{4}{5}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse C $f(x)=\dfrac{5}{4}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
Réponse D $f(x)=x-\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$ - La décomposition en produit de facteurs premiers de $195$ est …
Réponse A $5\times 39$
Réponse B $3\times 5\times 13$
Réponse C $1\times 100+9\times 10+5$
Réponse D $3\times 65$ 
Le volume de ce prisme droit est …
Réponse A $40$ cm$^3$
Réponse B $60$ cm$^3$
Réponse C $64$ cm$^3$
Réponse D $120$ cm$^3$
- Il y a $5$ faces dont le numéro est inférieur ou égal à $5$.
La probabilité cherchée est donc $\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.
Réponse B
$\quad$ - Il y a donc huit volumes (un de sirop et sept d’eau) dans cette boisson. $\dfrac{560}{8}=70$. Il faut donc $70\times 7=490$ mL d’eau.
Réponse D
$\quad$ - $f$ est linéaire, il existe donc un nombre $a$ tel que $f(x)=ax$.
$\dfrac{5}{4}\times \dfrac{4}{5}=1$.
Réponse C
$\quad$ - On a $
$\begin{align*} 195&=3\times 65 \\
&=3\times 5\times 13\end{align*}$
Réponse B
$\quad$ - L’aire du triangle de base est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{3\times 5}{2} \\
&=7,5 \text{ cm}^2\end{align*}$
Le volume du prisme droit est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\mathscr{A}\times 8 \\
&=7,5\times 8\\
&=60\text{ cm}^3\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
Exercice 3 : (20 points)
Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, $81 \%$ d’entre eux ne respectent pas cette recommandation.
D’après un communiqué de presse sur la santé
- Sur les $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, combien ne respectent pas cette recommandation ?
Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.
Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »
Pendant $14$ jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant, la durée quotidienne qu’il consacre à sa pratique physique :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Jour 1}&\textbf{Jour 2}&\textbf{Jour 3}&\textbf{Jour 4}&\textbf{Jour 5}&\textbf{Jour 6}&\textbf{Jour 7} \\
\hline
50\text{ min}&15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }40\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h }30\text{ min}&40\text{ min}\\
\hline
\textbf{Jour 8}&\textbf{Jour 9}&\textbf{Jour 10}&\textbf{Jour 11}&\textbf{Jour 12}&\textbf{Jour 13}&\textbf{Jour 14} \\
\hline
15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }30\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h}&0\text{ min}\\
\hline
\end{array}$$
- a. Quelle est l’étendue des $14$ durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
$\quad$
b. Donner une médiane de ces $14$ durées quotidiennes.
$\quad$ - a. Montrer que, sur les $14$ premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
$\quad$
b. Pendant les $7$ jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport pour atteindre son objectif sur l’ensemble des $21$ jours.
Sur ces $7$ derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum prévoir pour atteindre son objectif ?
- $\dfrac{81}{100}\times 1~600~000=1~296~000$.
$1,296$ million d’adolescents de 11 à 17 ans ne respectent pas la recommandation sur les $1,6$ million d’adolescents interrogés.
$\quad$ - a. L’étendue est $e=1$h$40$min$-0$ min c’est-à-dire $1$h$40$min.
$\quad$
b. On ordonne la série dans l’ordre croissant
$0$min;$~15$min;$~15$min;$~30$min;$~30$min;$~40$min;$~50$min;$~1$h:$~1$h;$~1$h;$~1$h;$~1$h$30$min;$~1$h$30$min;$~1$h$40$min.
$\dfrac{14}{2}=7$.
La médiane est donc la moyenne de $7\ieme$ et de la $8\ieme$ durée.
C’est donc $\dfrac{50+60}{2}=55$ min
$\quad$ - a. La moyenne de cette série est, après avoir converti les durées en minutes :
$\begin{align*}m&=\dfrac{0+15+15+30+30+40+50+60+60+60+60+90+90+100}{14}\\
&=\dfrac{700}{14}\\
&=50\end{align*}$
En moyenne il a fait $50$ minutes de pratique physique par jour sur ces $14$ jours.
Il n’a donc pas atteint son objectif.
$\quad$
b. Il doit faire au moins $21\times 60=1~260$ minutes de pratique physique sur ces $21$ jours.
Sur les $14$ premiers jours, il a déjà effectué $700$ minutes de pratique physique.
Il doit donc faire au moins $1~260-700=560$ minutes de pratique physique sur les $7$ derniers jours, soit en moyenne $80$ minutes par jour.
$\quad$
Exercice 4 : (21 points)
Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est unrectangle.
Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite :
1- En prenant pour échelle $1$ cm pour $20$ pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
2- Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :
Quelle est la distance $d$ entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
3- Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
4- Dessiner à main levée les $8$ affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
5- On admettra que les $8$ affichages ont la même probabilité d’apparaître. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
6- On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne
7- Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases : 
.
1- On obtient un rectangle de $60$ pas de large sur $80$ pas de haut soit $3$ cm sur $4$ cm.
2- On avance de $100-60=40$ pas entre chaque figure.
Donc $d=40$ pas.
3- Les seuls nombres entiers compris entre $1$ et $2$ sont $\acco{1;2}$.
4- Chaque nombre a la même probabilité d’apparaître.
La probabilité que le premier motif soit une croix est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
5- On obtient les $8$ affichages suivants :
6- La probabilité que le joueur gagne est donc égale à $\dfrac{2}{8}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
7- On peut écrire :
Exercice 5 : (22 points)
On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :
$$\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre choisi}\\\text{au départ}\\ \hline\end{array} \\
\boldsymbol{\Downarrow} \\
\begin{array}{|c|} \hline
\text{Programme de calcul} \\\bullet~\text{Calculer le carré du nombre de départ}\\ \bullet~\text{Ajouter le nombre de départ}\\ \hline \end{array}\\
\boldsymbol{\Downarrow}\\
\begin{array}{|c|} \hline \text{Nombre obtenu à}\\ \text{l’arrivée}\\\hline \end{array}\end{array}$$
PARTIE A
1- Vérifier que si le nombre de départ est $15$, alors le nombre obtenu à l’arrivée est $240$.
2- Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :
Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ.
Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{B2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
Aucune justification n’est attendue.
3- On note $x$ le nombre de départ.
Écrire, en fonction de $x$, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.
PARTIE B
On considère l’affirmation suivante :
« Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »
4- Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est $9$.
5- Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
6- Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme de calcul est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.
Partie A
- Si le nombre de départ est $15$ alors sont carré est $225$.
À l’arrivée on obtient $225+15=240$.
$\quad$ - On a pu écrire $=\text{A2}*\text{A2}+\text{A2}$.
$\quad$ - Le résultat obtenu est $x^2+x$.
$\quad$
Partie B
- Si le nombre de départ est $9$ alors on obtient à l’arrivée $9^2+9=90$.
Et $90=9\times 10$.
L’affirmation est vraie quand le nombre choisi au départ est $9$.
$\quad$ - Si $x$ est un nombre entier, on a alors $x^2+x=x\times x+x\times 1=x(x+1)$.
L’affirmation est donc vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
$\quad$ - Parmi deux nombres entiers consécutifs l’un d’entre eux est pair.
Ainsi le produit de deux nombres entiers consécutifs est pair.
Le nombre obtenu à l’arrivée est donc toujours pair.
$\quad$
